Integral Substitutionen (Gerd Lamprecht)

Integral Substitutionen ( Gerd Lamprecht)

Integral Substitutionsbeispiel 1 R(x,sqrt(a²+b²x²)):

§A1: ${\int\!\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+x+1}}\,dx=\sqrt{x^{2}+x+1}+\frac{1}{2}asinh\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)}$
Mathebuch (Göhler Seite 62): Substitution mit bx=a*sinh(t) und dx=a/b cosh(t) dt ; Herleitung hier (more steps)

Integral Substitutionsbeispiel 1 R(x,sqrt(1-x²)):

§A2: Bei ${\int \! x \cdot \sqrt{a^2-x^2} \, dx}$ denkt jeder zunächst an
§A2a: ${\int \! \sqrt{a^2-x^2} \, dx =\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} +\frac{a^2}{2}asin\left(\frac{x}{a} \right) ; | x | < a}$ (siehe auch §A2e) aber Göhler eine Seite 63 zeigt eine interessante Substitution: ${x=\frac{1-t^2}{1+t^2} ; \sqrt{1-x^2}=\frac{2t}{1+t^2} ; dx=\frac{-4t}{(1+t^2)^2}}$ eingesetzt ergibt:
§A2b: ${\int \! \frac{-8t^2(t^2-1)}{(1+t^2)^4} \, dt = \frac{8t}{3(1+t^2)^3}- \frac{8t}{3(1+t^2)^2}=\frac{-8t^3}{3(1+t^2)^3}}$ und mit Rücktransformation
§A2c: ${t=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \Rightarrow \frac{-(1-x)^{\frac{3}{2}}}{3\left(\frac{1}{1+x} \right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{-1}{3}\cdot (1-x^2 )^{\frac{3}{2}}}$

§A2d: Lösungsweg2 per partielle Integration auch Produktintegration in Langform: ${\color{DarkGreen}{\int \! u(x)\cdot v(x) \, dx = u(x)\cdot\int \! v(x) \, dx - \int \! \left[ u(x)' \cdot \int \! v(x) \, dx \right]\, dx}}$
§A2e: Lösungsweg3 auch per Produktintegration:
${\int \! x\cdot \sqrt{a^2-x^2} \, dx =x\cdot \int \! \sqrt{a^2-x^2} \, dx-\int \! 1\cdot\left[\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}asin\left(\frac{x}{a} \right) \right] \, dx}$
${=\frac{x^2}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{x a^2}{2}asin\left(\frac{x}{a} \right)-\frac{1}{2}\int \! x \sqrt{a^2-x^2} \, dx}$ ${-\frac{a^2}{2}\left[x \cdot asin\left(\frac{x}{a} \right)+a\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\right]}$
${=\frac{1}{3}\left[x^2\cdot \sqrt{a^2-x^2}-a^3\cdot \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} \right]=\frac{-1}{3}\cdot (a^2-x^2 )^{\frac{3}{2}}}$

§A2f: allgemein gilt: ${\color{DarkGreen}{\int\! x\cdot (a + b x^2)^c \, dx =\frac{(a + b x^2)^{c+1}}{2b c + 2b} + const}}$

§A3: Beispiel ∫ log(x)*x dx (more steps)
§A3b: Beispiel ∫ x * log(x) dx (Vertauschung) (schwerer, da über Umweg ∫ log(x) * 1 dx geschweifte Klammer)
§A4: Beispiel ∫ sqrt(x²-1) dx ...

Integrale mit x^x=exp(x*log(x)):

§B1: $\int_0^1\! x^{x}\,dx=\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k}}{-k^{k}}$ = IntegralxPowX(1)=A083648=
0.783430510712134407059264386526975469407681990146930958255417822701600184589140445624864204972268938974800258238641719794822087188366506055227492455...

§B1b: $\int_0^x \! t^t \,dt=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{log(x)^{n+1}\cdot ExpIntegralE(-n,-(n+1)\cdot\log(x))}{-(n!)}; x>1 ; \qquad x = reell !$ ; siehe ExpIntegralE(x,y) und (IntegralxPowX(x reell))

§B2: $\int\! x^{x}\cdot \left(1+log(x)\right)\,dx=x^{x}$

§B3: $\int\! x^{x}\cdot \left(1+x+x\cdot log(x)\right)\,dx=x^{x}\cdot x$

§B4: $\int\! x^{x}\cdot \frac{x+x\cdot log(x)-1}{x^{2}}\,dx=\frac{x^{x}}{x}$

§B5: $\int\! x^{x}\,dx-\int\! \frac{x^{(x-1)}}{(1+log(x))^{2}}\,dx=\frac{x^{x}}{(1+log(x))^{2}}+\frac{x^{x}log(x)}{(1+log(x))^{2}}=\frac{x^{x}}{1+log(x)}$

§B6: $\int\! x^{x}\cdot e^{x}(2+log(x))\,dx=x^{x}\cdot e^{x}$

§B7: $\int \! x^{x}\cdot\frac{log(x)-Digamma(x)+1}{\Gamma(x)}\,dx=\frac{x^{x}}{\Gamma(x)}$

§B8: $\int \! x^{x}\cdot \frac{(\frac{1}{x}-log(x)-1)\left[\pi x-2agm(x,x^{x})EllipticE\left(\frac{(x-x^{x})^2}{(x+x^{x})^2}\right)\right]}{\pi(x^{x}-x)agm(x,x^{x})}\,dx=\frac{x^{x}}{agm(x,x^{x})}$

§B9: $\int\! x^{x}\cdot \frac{x!(log(x)+1)-x!Digamma(x+1)}{(x!+x^{x})^{2}}\,dx=\frac{x^{x}}{x!+x^{x}}$

§B10: $\int\! x^{x}\cdot \frac{log(x)-log(x+1)}{(x+1)^{x+1}}\,dx=\frac{x^{x}}{(x+1)^{x+1}} \ ;\ \ log(x)-log(x+1)=log\left(\frac{x}{x+1}\right)$

§B11: $\int \! x^{-x} \, dx =\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{A176118(k)(x-1)^{k}}{k!}, 0<x<2$

agm, Gamma, Digamma und EllipticE siehe Wissenschaftlicher Umkehrfunktionen Rechner

Integrale mit (a+bx)ⁿ*(c+dx)ⁿ:

§C1 partielle Integration: $\int\!(a+bx)^{n}(c+dx)^{m}\,dx=\frac{(a+bx)^{n+1}(c+dx)^{m}}{(m+n+1)b}-\frac{(ad-cb)m}{(m+n+1)b}\int\!(a+bx)^{n}(c+dx)^{m-1}\,dx$

§C2a Spezialfall: a=b=d=1; c=-1: $\int\!(1+x)^{n}(x-1)^{m}\,dx=\frac{(1+x)^{n+1}(x-1)^{m}}{m+n+1}-\frac{2m}{m+n+1}\int\!(1+x)^{n}(x-1)^{m-1}\,dx$

§C2b mit $m \in \mathbb{N} : (n+1)(n+2)...(n+m+1)=\frac{(n+m+1)!}{n!}$ und $\int_{-n}^{n}\!(2m)x^{(2m-1)}\,dx=n^{2m}-(-n)^{2m}=0$

§C2c kann rekursiv m-1 reduziert werden, bis m-1=0; feste Integrationsgrenzen: $\int_{-1}^{1}\!(x+1)^{n}(x-1)^{m}\,dx=(-1)^{m}2^{n+m+1}\frac{n!m!}{(n+m+1)!}$

§C2d Fall: m reell: $\int\!(1+x)^{n}(x-1)^{m}\,dx=2^{(n+m+1)} \frac{(x-1)^m}{(1-x)^m}Beta\left(\frac{x+1}{2},n+1,m+1\right)$

${=2^{(n+m+1)} \frac{(x-1)^m}{(1-x)^m}\frac{n!m!}{(n+m+1)!}\frac{(n+m+1)!}{n!m!}\frac{(x+1)^{n+1}}{(n+1)2^{n+1}}hyg2F1(n+1,-m,n+2,x/2+1/2)}$

${=2^{m} \frac{(x-1)^m}{(1-x)^m}\frac{(x+1)^{n+1}}{(n+1)}\cdot}$ hyg2F1(-m,n+1,n+2,x/2+1/2)

zwar $Beta\left(0,n+1,m+1\right)=0$ und $Beta\left(1,n+1,m+1\right)=\frac{n!m!}{(n+m+1)!}$ =Beta(n+1,m+1)

aber Achtung: für x=-1 und x=1 sind bei §C2d spezielle Grenzwertbetrachtungen nötig!

$\int\!x^{n}log(x)^{n}\,dx=-log(x)^{n+1}\cdot$ ExpIntegralE(-n,-(n+1)log(x))

$\int \! x^{n}\cdot m^{x} \, dx =-x^{n+1}\cdot$ ExpIntegralE(-n,-x log(m))

Die laguerresche Differentialgleichung: (Laguerre Differential Equation)

Die allgemeine Differentialgleichung x*y"+(v+1-x)*y'+λ*y=0 hat nach (Iyanaga and Kawada 1980, S. 1481; Zwillinger 1997, S. 124) die Lösung mit 2 hypergeometrischen Funktionen:
$t=\frac{C_{1}}{\Gamma(-\lambda)}\int_0^\infty \! \frac{t^{-\lambda-1}(1+t)^{\lambda +v}}{e^{x t}} \, dt -C_{2}\frac{\sin(\pi \lambda)}{\pi}\int_0^1\! e^{x t}(1-t)^{\lambda +v}t^{-\lambda-1}\,dt$
$t=C_{1}\cdot$ hygU(-λ,v+1,x)+ $C_{2}\cdot \frac{(v+1)_{\lambda} }{\Gamma(\lambda+1)} \cdot$ hyg1F1(-λ,v+1,x)

Die 2. hypergeometrische Funktion mit dem Pochhammer-Symbol und der Gammafunktion wurde nach Edmond Laguerre zu einer eigenen Funktion zusammengefasst - die zugeordneten Laguerre-Polynome (Generalized Laguerre polynonials):
$L_{\lambda}^{v}(x)= \frac{(v+1)_{\lambda} }{\Gamma(\lambda+1)} \cdot$ hyg1F1(-λ,v+1,x)=LaguerreL(λ,v,x); für ganze λ: $L_{\lambda}^{v}(x)=\sum\limits_{k=0}^{\lambda}\frac{(-1)^k x^k (\lambda +v)!}{(\lambda-k)!(v+k)! k!} ; \lambda \in \mathbb N$
Für den Spezialfall v=0 vereinfacht sich die laguerresche Differentialgleichung: x*y"+(1-x)*y'+λ*y=0 zur Lösung:
$t=C_{1}\cdot$ hygU(-λ,1,x)+ $C_{2} \cdot$ hyg1F1(-λ,1,x)
und die vereinfachten Laguerre-Polynome: $L_{\lambda}(x)=L_{\lambda}^{0}(x)= \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}(-\lambda)_{k} }{(k!)^2}$ = hyg1F1(-λ,1,x)=LaguerreL(λ,x)
für ganze λ vereinfacht es sich weiter zu: $L_{\lambda}(x)= \frac{(-1)^{\lambda}}{\lambda!}\cdot hygU(-\lambda,1,x)=\sum\limits_{k=0}^{\lambda}\frac{(-1)^k x^k}{k!}\begin{pmatrix} \lambda \\ \lambda-k \end{pmatrix}; \lambda \in \mathbb N$

Weitere Integrale - Rekursionsformeln (partielle Integration siehe §A2d):

§D1: $\int \! x^n\cdot sin(a x) \, dx = \frac{x^n}{-a}cos(a x) + \frac{n}{a}\int \! x^{n-1}\cdot cos(a x) \, dx = \frac{i}{2} x^{(n+1)}\cdot$ [ExpIntegralE(-n,-a x i) - ExpIntegralE(-n,a x i)]
= $cos(x) \left[ \sum\limits_{k=0}^{floor\left(\frac{n}{2}\right)} \frac{(-1)^{k+1}x^{n-2k}n!}{(n-2k)!}\right] +$ $\sin(x)\left[ \sum\limits_{k=0}^{floor\left(\frac{n-1}{2} \right)} \frac{(-1)^{k}x^{n-2k-1}n!}{(n-2k-1)!}\right] \qquad ; a=1; \qquad n \in \mathbb N$

§D2: $\int \! \frac{x}{(ax+b)^n} \, dx =\frac{a^{-2}\cdot b}{(n-1)(ax+b)^{n-1}}-\frac{a^{-2}}{(n-2)(ax+b)^{n-2}} \qquad ; \qquad n \neq \left\{1 , 2\right\}$
§D3:

§D4:

mit Gamma2(x,y)
§D5:

siehe konkretes Beispiel

§D6: ∫ sin(x)^n dx = -cos(x) * hyg2F1(1/2,(1-n)/2,3/2,cos(x)²) * sin(x)^(n + 1)/(sin(x)²)^(n/2+1/2)

Ableitungsregeln

§E1: Produktregel: [u(x)*v(x)]'=u(x)'*v(x) + u(x)*v(x)'

§E2: Quotientenregel: $\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]'=\frac{u(x)'v(x)-u(x)v(x)'}{v(x)^2}$
§E3: Kettenregel: $\frac{d}{dx}f\left\{v\left[u(x)\right] \right\}=\frac{df}{dv}\cdot \frac{dv}{du}\cdot \frac{du}{dx}$
Beispiel: $\log(\log(\log(x)))'=\frac{1}{\log(\log(x))}\cdot \frac{1}{\log(x)}\cdot \frac{1}{x}$

§E4: Ableitung der Umkehrfunktion: f(x)' = 1/UF'(y) mit y=f(x) ; Beispiel: $atan(x)'=\frac{1}{tan(y)'}=\frac{1}{1+tan(y)^2}=\frac{1}{1+x^2}$

§E5: $\left(f(x)^x\right)'=f(x)^x\left(\frac{x f'(x)}{f(x)}+ log(f(x)) \right)$
§E6: $\left(f(x)^{\frac{1}{x}}\right)'=\frac{f(x)^{\frac{1}{x}-1}\cdot f'(x)}{x}-\frac{f(x)^{\frac{1}{x}}\cdot log(f(x))}{x^2}$
Beispiel: $\left({\cos(x)}^{\frac{2}{x}}\right)'=\frac{{\cos(x)}^{\frac{2}{x}}(-2)\sin(x)\cos(x)}{\cos(x)^{2} \cdot x}- \frac{{\cos(x)}^{\frac{2}{x}} log(\cos(x)^2)}{x^2}$ $=\frac{-2{\cos(x)}^{\frac{2}{x}} tan(x)}{x}- \frac{{\cos(x)}^{\frac{2}{x}} log(\cos(x)^2)}{x^2}$
Überprüfung mit der numerischen Ableitung (blau gestrichelt) per Universal Diagramm (Plotter) beweist die Übereinstimmung mit der expliziten Ableitungsfunktion (rot).

§E7a:

Doppelsumme aus Pochhammer-Funktionen

§E7b: universell explizit n. Ableitung: d^n/dx^n e^(a/x) = (-a)^(n)*e^(a/x)/x^(2n) * hyg2F0(-n,1-n,sgn(a)*x)

§F1: $\int_0^x \! e^{cos(t)} \, dt = \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k \cdot x^{2k+1} \cdot \frac{A005046(k)}{(2k+1)!}$
§F2: $\int \! e^{cos(t)}\cdot (-sin(t)) \, dt = e^{cos(t)}$

siehe auch Volumenintegrale