Integral Substitutionen ( Gerd Lamprecht)

   

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Integral Substitutionsbeispiel 1 R(x,sqrt(a²+b²x²)):

§A1:
Mathebuch (Göhler Seite 62): Substitution mit bx=a*sinh(t) und dx=a/b cosh(t) dt ; Herleitung hier (more steps)


Integral Substitutionsbeispiel 1 R(x,sqrt(1-x²)):

§A2: Bei denkt jeder zunächst an
§A2a: (siehe auch §A2e) aber Göhler eine Seite 63 zeigt eine interessante Substitution: eingesetzt ergibt:
§A2b: und mit Rücktransformation
§A2c:

§A2d: Lösungsweg2 per partielle Integration auch Produktintegration in Langform:
§A2e: Lösungsweg3 auch per Produktintegration:




§A2f: allgemein gilt:

§A3: Beispiel ∫ log(x)*x dx (more steps)
§A3b: Beispiel ∫ x * log(x) dx (Vertauschung) (schwerer, da über Umweg ∫ log(x) * 1 dx geschweifte Klammer)
§A4: Beispiel ∫ sqrt(x²-1) dx ...


Integrale mit x^x=exp(x*log(x)):

§B1:= IntegralxPowX(1)=A083648=
0.783430510712134407059264386526975469407681990146930958255417822701600184589140445624864204972268938974800258238641719794822087188366506055227492455...

§B1b: ; siehe ExpIntegralE(x,y) und (IntegralxPowX(x reell))

§B2:

§B3:

§B4:

§B5:

§B6:

§B7:

§B8:

§B9:

§B10:

§B11:

agm, Gamma, Digamma und EllipticE siehe Wissenschaftlicher Umkehrfunktionen Rechner

Integrale mit (a+bx)n*(c+dx)n:

§C1 partielle Integration:



§C2a Spezialfall: a=b=d=1; c=-1:



§C2b mit und



§C2c kann rekursiv m-1 reduziert werden, bis m-1=0; feste Integrationsgrenzen:



§C2d Fall: m reell:



hyg2F1(-m,n+1,n+2,x/2+1/2)

zwar und =Beta(n+1,m+1)

aber Achtung: für x=-1 und x=1 sind bei §C2d spezielle Grenzwertbetrachtungen nötig!

ExpIntegralE(-n,-(n+1)log(x))

ExpIntegralE(-n,-x log(m))

Die laguerresche Differentialgleichung: (Laguerre Differential Equation)

Die allgemeine Differentialgleichung x*y"+(v+1-x)*y'+λ*y=0 hat nach (Iyanaga and Kawada 1980, S. 1481; Zwillinger 1997, S. 124) die Lösung mit 2 hypergeometrischen Funktionen:

hygU(-λ,v+1,x)+ hyg1F1(-λ,v+1,x)

Die 2. hypergeometrische Funktion mit dem Pochhammer-Symbol und der Gammafunktion wurde nach Edmond Laguerre zu einer eigenen Funktion zusammengefasst - die zugeordneten Laguerre-Polynome (Generalized Laguerre polynonials):
hyg1F1(-λ,v+1,x)=LaguerreL(λ,v,x); für ganze λ:
Für den Spezialfall v=0 vereinfacht sich die laguerresche Differentialgleichung: x*y"+(1-x)*y'+λ*y=0 zur Lösung:
hygU(-λ,1,x)+ hyg1F1(-λ,1,x)
und die vereinfachten Laguerre-Polynome: = hyg1F1(-λ,1,x)=LaguerreL(λ,x)
für ganze λ vereinfacht es sich weiter zu:

Weitere Integrale - Rekursionsformeln (partielle Integration siehe §A2d):

§D1: [ExpIntegralE(-n,-a x i) - ExpIntegralE(-n,a x i)]
=

§D2:
§D3:
§D4: mit Gamma2(x,y)
§D5: siehe konkretes Beispiel

Ableitungsregeln

§E1: Produktregel: [u(x)*v(x)]'=u(x)'*v(x) + u(x)*v(x)'

§E2: Quotientenregel:
§E3: Kettenregel:
Beispiel:

§E4: Ableitung der Umkehrfunktion: f(x)' = 1/UF'(y) mit y=f(x) ; Beispiel:

§E5:
§E6:
Beispiel:
Überprüfung mit der numerischen Ableitung (blau gestrichelt) per Universal Diagramm (Plotter) beweist die Übereinstimmung mit der expliziten Ableitungsfunktion (rot).

§E7a: Doppelsumme aus Pochhammer-Funktionen

§E7b: universell explizit n. Ableitung: d^n/dx^n e^(a/x) = (-a)^(n)*e^(a/x)/x^(2n) * hyg2F0(-n,1-n,sgn(a)*x)

§F1:
§F2:

siehe auch Volumenintegrale