Quartische Gleichung (Gerd Lamprecht)

   

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Für Bestimmung der Nullstelle bei Gleichungen (Polynome) 4. Grades gibt es 4 unterschiedliche Herangehensweisen:
§A: Schulwissen = Spezialfall-Behandlung + Raten glatter Werte: Horner-Schema, Polynomdivision, Substitution
(nur glatte Werte und Spezialfälle möglich)
§B: Newton-Verfahren: per Ableitung eine selbstkonvergierende Iterationsformel erzeugen
(Ergebnis kann nicht exakt als Wurzel angegeben werden
geeigneten Startwert herausfinden; oft nur 1 Lösung statt 4)
§C: Quartische Gleichung per kubische Hilfsgleichung in 2 quadratische Faktoren zerlegen (lese Wikipedia deutsch)
1/250 = e^(-2*x/10)-e^(-8*x/10)= e^(-1*x/5)-e^(-4*x/5)
0=z-z^4-1/250 mit z=e^(-1*x/5)
§1:0=z^4-z+1/250
Mit Substitution kann 0 = x4 + a*x³ + b*x² + c*x + d in eine Gleichung 3.Grades überführt werden:
0=8 y³ -4b y² + (2ac-8d) y + (4bd-a²*d-c²); mit a=0, b=0, c=-1, d=1/250 ergibt das
§2:0=8*y³-8/250y-1
die exakt mit den Cardanischen Formeln Lösung per Iterationsrechner oder Nullstellen Rechner {0=z^4-z+1/250}
berechnet werden kann:
aD[1]=y=0.502666641517... ergibt.
Aufspaltung in 2 Quadratische Formeln ergibt mit
D=sqrt(8*y+a²-4*b)=sqrt(8*0.5026666415177322+0-0) =sqrt(4.02133313214...)=2.005326190957...
aufgeteilt in ein Produkt zweier Quadratischer Gleichungen:
[z² + (a-D)/2 *z +(y - (a*y-c)/D)] * [z² + (a+D)/2 *z +(y + (a*y-c)/D)] = 0
0=z²-1.002663095478794119...*z+(0.5026666415177322+(-1/2.0053261909579343047133797888146))
§3:0=z²-1.002663095478794119...*z+0.00399465263654899403944718608237...
Teil 2 imaginär:
0=z²+1.002663095478794119...*z+(0.5026666415177322-(-1/2.0053261909579343047133797888146))
z1=0.004000000256000065536...
z2=0.99866309522279405350...
z3=-0.501331547739397059518544... + 0.8660284693009745·i...
z4=-0.501331547739397059518544... - 0.8660284693009745·i...
Rücktransformation mit x=-5*log(z)
x1=27.6073042693111604861...
x2=0.006688996158433976...
§1+§2+§3:


Vergleich Quadratische Gleichung per p-q-Formel und KubischeGleichung per PQRST-Formel:


§D: Wie unter Wikipedia ( engl. Quartic function ) beschrieben gibt es analog zur pq-Formel auch für Quartische Gleichung eine allgemeingültige explizite Lösung für die 4 Nullstellen (General formula for roots).
Zwar sind die Zwischenergebnisse komplex (Imarinäranteil), aber man kann sie zusammenfassen und zu einer PQRSTUVW-Formel vereinfachen!
Nullstellenrechner nun auch mit komplexen Faktoren bis Grad 4 (Quartische Gleichung; Quartic function Calculator for solving Quartics with complex factors)

Beispiel: 6*t^2*x^4+12*t*x^3+4*t^2*x^2+12*t*x+9=0
Lösung: x1...x4

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Cardanische Formeln .