Kreiszahl Pi = π (Archimedes-Konstante oder Ludolphsche Zahl A000796=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211…

 

zurück zu Gerd Lamprecht's Homepage

zur Pi Datenbank von Gerd Lamprecht (interessantesten Nachkommastellen in Pi suchen bis 22,4 Bio.=2.24e13)


neu: Anzahl aller dezimalen Nachkommastellen einer mathematischen Konstante die benötigt werden, um alle n-stellige Zeichenketten (Zifferkombinationen) garantiert zu finden


Auszüge der ersten 200000260 Stellen (Textkonverter)

Pi Nachkommastellen in Bildern visualisiert

Beweis der Irrationalität von Pi
1761...1768 Johann Heinrich Lambert: Beweis der Irrationalität von Pi per Kettenbruch
6 Beweise der Irrationalität von Pi bei Wikipedia

Die Kreiszahl-Konstante (auch Ludolphsche Zahl) wird ab 1706 mit dem griechischen Buchstaben π und ab 2001 in der Zahlen-Datenbank (OEIS) als A000796 bezeichnet.
Der griechische Buchstabe π kann verschieden dargestellt werden (auch Abhängig vom Browser):
BildUnicode 03C0 mit Schrift Times New Roman Windows Zeichentabelle LaTeX-SyntaxHTML-Syntax Unicode-HTML
π U+03C0\piΠΠ

 

Neben den allgemein bekannten Definitionen und geschichtlichen Hintergründen wie z.B. in:

http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/pi.html

http://de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl

Merksätze und Eselsbrücken

http://dir.yahoo.com/Science/Mathematics/Numerical_Analysis/Numbers/Specific_Numbers/Pi/

 

gibt es noch viele andere Berechnungsmethoden für die berühmteste aller mathematischen Konstanten.

 

Hinweise:

- Einige Formeln sind im WMZ-Format gespeichert, um auch beim Ausdruck oder starken Vergrößerungen beste Anzeigequalität beizubehalten.

(nennt man die Datei in ZIP um, kann man eine WMF-Vektordatei entkomprimieren)

- Dieses Dokument wird ständig aktualisiert… (Stand 04.05.2016)

- Mein Geburtstag ist in Pi z.B. ab Dezimal-Nachkommastelle 99999e99e7234 (erste Vorkommen bereits bei Nachkommaziffern abcdecec, hfcfafhdddg) enthalten.

 

Interessante und schnell konvergierende Berechnungsmethoden (über 100 Algorithmen für Pi)

 

  1. Arctan-Reihen

 

 

Ausgehend von der bekannten Integral Formel für den viertel Kreis:



  {Leibniz-Reihe (1646-1716)}

 






(bei Potenz 256 statt je 16 stimmt der Bruch vor dem Integral mit Pi auf etwa 156 Stellen überein)

und mit atan(1/Fibonacci(2x))=atan(1/Fibonacci(2x+1))+atan(1/Fibonacci(2x+2)) und
1er Summe: Pi=4*atan(1)
2er Summe:
Pi=(atan(1/2)+atan(1/3))*4 ; mit atan(1/x)=acot(x)
Pi=16*atan(1/5)-4*atan(1/239)
lassen sich viele besser konvergierende Formeln herleiten (je kleiner der arctan-Parameter je schneller die Konvergenz siehe http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibpi.html http://en.wikipedia.org/wiki/Machin-like_formula http://www.machination.eclipse.co.uk/index.html ):


3er Summe:
Pi=atan(1/18)*48+atan(1/57)*32-atan(1/239)*20
http://numbers.computation.free.fr/Constants/Programs/piclassic.c
4er:
Pi=(3*23-1)*acot(23)+32acot(7*23+21)+20acot(23*157/2)+20acot(27091*23+5)
Pi=atan(1/57)*176+atan(1/239)*28-atan(1/682)*48+atan(1/12943)*96
5er:
Pi=508*atan(1/239)+752*atan(1/515)-480*atan(1/1068)+352*atan(2/81487)-576*atan(1/173932)
Pi=332*acot(107)+68*acot(1710)-88*acot(103697)-48*acot(2513489/2)-88*acot(18280007883/2)
Pi=352*acot(172)+204*acot(239)+128*acot(682)+176*acot(5357)+272*acot(12943)
6er:
Pi=(56acot[23]-acot[182]-25acot[500]-20acot[924]+5acot[99557]+10acot[298307])*4/3
Pi=732acot(239)+128acot(1023)-272acot(5832)+48acot(110443)-48acot(4841182)-400acot(6826318) (Hwang Chien-Lih 1997).
Pi=532acot(239)+728acot(1252)+928acot(2855)+400acot(58898)+248acot(110443)+552acot(4841182)
Pi=4(354acot[580]+227acot[1023]-171acot[1710]+310acot[5832]-12acot[2513489/2]+83acot[6826318])
Pi=1288acot(577)+304acot(682)+556acot(1393)+624acot(12943)+528acot(32807)+176acot(1049433)
7er:
Pi= 2324acot[1252]+3056acot[2855]+1064acot[5832]+1464acot[58898]+780acot[110443]+2148acot[4841182]+1064acot[6826318]
Pi=6348*acot(2852)+1180*acot(4193)+2372*acot(4246)+1436*acot(39307)+1924*acot(55603)+2500*acot(211050)-2832*acot(390112)

8er (ideal zum Parallelisieren {Multitasking, Multi-Processing} für 8 Kern Prozessoren {i7 = 4*2 oder AMD FX-9000-Serie}):

Pi = 13260acot[7535]+12888acot[9703]+4424acot[57532]-5284acot[167318]+1592acot[529661/2]-460acot[664373]+3436acot[1048768]-2500acot[7042807]

9er:

 

 



Pi=4(10958acot[39307]+18505acot[44179]+12000acot[167318]+1699acot[333367]+398acot[390112]-1369acot[2885139/2]+7162acot[3142271/2]+10118acot[1610057]+2475acot[103224943])
10er:
Pi=4(19162acot[40515]+12000acot[51412]+9000acot[219602]+11407acot[734557]+26463acot[1039784]-6271acot[6826318]-2988acot[7626068]-15764acot[9639557]+183acot[21072618]+8419acot[2539791558])
11er:
Pi=4(36462acot[390112]+135908acot[485298]+274509acot[683982]-39581acot[1984933]+178477acot[2478328]-114569acot[3449051]-146571acot[18975991]+61914acot[22709274]-69044acot[24208144]-89431acot[201229582]-43938acot[2189376182])

 

§1b: Wenn man die Umkehrfunktion von sin(x) nicht kennt oder zu kompliziert erachtet, kann man auch die Gleichung 0=sin(x) mit Hilfe der Bisektion (Intervallhalbierungsverfahren) berechnen.
Dazu beginnt man z.B. im Intervall von 3 bis 4. Hier online per Iterationsrechner!

 

 

  1. Unendliche Summen und Integrale

§2a:   (Ramanujan)

 

 

§2b:           (Ramanujan; 8 Stellen pro Term)

 

§2c:           (Chudnovsky; 14 Stellen pro Term; Weltrekord 10 Bio Stellen!)





Hergeleitet aus hypergeometrischen Funktionen:
Pi=(51885171624116224000*sqrt(10005))/(1651969144908540723200*hyg3F2(1/6,1/2,5/6,1,1,-1/151931373056000)-30285563*hyg3F2(7/6,3/2,11/6,2,2,-1/151931373056000))
mit sehr nahe beieinander liegenden Konstanten:
0.999999999999999542922287559081630621837253677916255502...=hyg3F2(1/6,1/2...
0.999999999999999542922287559081630621837253677939777209...=(R-171)/(R-51)=1-120/(e^(sqrt(163)*Pi)-51)
0.999999999999994720752421307408525056714817085071348666...=hyg3F2(7/6,3/2...
0.999999999999994720752421307408525056714817076329642394...=(3R-1970)/(3R+2188)=1-4158/(2188+3e^(sqrt(163)*Pi))
und j(1+i*sqrt(163))=(-640320)³

z.B. https://gmplib.org/download/misc/gmp-chudnovsky.c

 

          siehe Iterationsrechner Beispiel 72 bis 74




§2d: noch schneller konvergiert die Ramanujan–Sato-Reihe von J. & P. Borwein: 50 Stellen pro Iteration per Iterationsrechner Beispiel 88

 

§2e:                                             (Newtons Formel)

denn:   ;   asin(x) Formeln siehe 5.
=Pochhammer(1/2,k)
§2f:

Dazu ist auch das kürzeste c Programm bekannt: 138 Byte für 15000 Stellen:
 c Code: a[52514],b,c=52514,d,e,f=1e4,g,h;
main(){for(;b=c-=14;h=printf("%04d", e+d/f))
for(e=d%=f;g=--b*2;d/=g)d=d*b+f*(h?a[b]:f/5),a[b]=d%--g;}

§2g: Kettenbrüche:
William Brouncker's Kettenbruch per Iterationsrechner Beispiel 98

 

Aus Pi = 4 * atan(1) lassen sich 3 weitere Kettenbrüche herleiten:

Pi Kettenbruch mit A001203


Pi Summe mit A007514

                                                        (Excessive Fraud; correct to over 42 billion digits)

                                                        siehe auch Iterationsrechner Beispiel 75

 

 

 

  1. Unendliche Produkte

§3a: Wallissches Produkt
      (Wallis-Produkt)

§3b: ;   


§3c:
§3d:
§3e1: aus Primzahlen Unterpunkt 5 oder online per Iterationsrechner!
§3e2: Pi=2/{Prod [1+(-1)^({Prime(k)-1}/2)/Prime(k)],k=2...∞}

§3f:    (François Viète 1593) Hier online leicht variiert per Iterationsrechner!

 

 

 

 

  1. Iterationen

§4a Iteration mit normaler Konvergenzgeschwindigkeit und Näherung von Archimedes von Syrakus über ein n-Eck per Iterationsrechner Beispiel 78

 

§4b

           

           (d.h. etwa N»1,9*2n Nachkommastellen; bei n=10 sind das N»1995 Nachkommastellen)

 

bekannter als Gauss-Legendre Algorithmus (siehe  http://de.wikipedia.org/wiki/Super_PI):

 

§4c

bei n=19 Iterationen sind das etwa 1 Million Nachkommastellen.

 

 

§4d Noch besser konvergiert die Iterationsformel von Borwein & Bailey (Konvergenz 5. Ordnung):

 

 

 

d.h. bei n=10 ergibt das mindestens 13 Mio. Nachkommastellen!!!

siehe Iterationsrechner Beispiel 66


§4e Extreme Konvergenz mit Iterationsformel von Borwein & Bailey (Konvergenz 16. Ordnung):

per Iterationsrechner einfache Genauigkeit


1 Iteration 8 richtige Dezimalstellen; 2 I. 171 r. D.; 3 I. 2788 r. D.; 4 Iterationen ergeben über 10000 richtige Dezimalstellen! ...

 


Der krasse Gegensatz dazu ist einer der langsamsten Algorithmen zur Bestimmung von Pi:

§4f die Monte-Carlo-Simulation

-> benötigt 100000 bis 800000 Iterationen für 2 Nachkommastellen
siehe Iterationsrechner Beispiel 10
Hintergrund ist die Frage, ob ein Zufallspunkt innerhalb eines Viertel Kreises liegt.
mathematisch: 1/N*sum (RandomReal[{0,1}]²+RandomReal[{0,1}]²)<=1,k=1...N mit N gegen UNENDLICH
Da das (Flächen-)Integral von sqrt(a²-x²) die bekannte asin-Funktion ergibt, läuft diese Frage auf die bekannte Formel hinaus:
Pi=2 * asin(1) eine Art numerischer Integration mit Umweg über Zufallsvariablen
Buffonsches Nadelproblem zeigt die gleiche Ineffizienz -> siehe Wiki...

 

  1. Berechnung von Pi mit speziellen Funktionen

 

Mit meinem PHP Rechner für spezielle Umkehrfunktionen kann Pi auf vielfältige Weise berechnet werden (z.B. wenn ein Taschenrechner keine Taste für Pi hat):

Pi = atan(1)*4

Pi = atan(1/sqrt(3))*6 =

Pi = acot(1)*4

Pi = asin(1)*2

Pi = asin(1/2)*6

Pi = asin(sqrt(5)/4-1/4)*10=asin(sqrt(2-sqrt(2))/2)*8=5asin(sqrt((5-sqrt(5))/8))=5acos((1+sqrt5)/4) usw. siehe sin(x) in Wurzelschreibweise

Pi = 29*asin(((-1)^(27/58)-(-1)^(31/58))/2)

Pi = acos(-1)

Pi = acos(0)*2=acos(1/2)*3

Pi = 2*(acos(1/x)+atan(1/sqrt(x*x-1))) mit |x|>1; bei x=13/5 ist Pi=(acos(5/13)+atan(5/12))*2=(atan(12/5)+atan(5/12))*2

Pi = Pochhammer(1,1/2)²*4=(4Pochhammer(1,3/2)/3)²=(8Pochhammer(1,5/2)/15)²=(16Pochhammer(1,7/2)/105)²

Pi = 4/binom(1,1/2)

Pi = sqrt(zeta(2)*6)

Pi = (zeta(4)*90)^(1/4)={Zeta(2*n)*(2*n)!*(-1)^(n+1)/(BernoulliB[2*n]*2^(2n-1))}^(1/(2n)) mit n=1,2,3,...

Pi =    für n=5; für n=8 folgt Pi = ; für n=13 folgt

Pi = (Gamma(-1/2)/2)^2 = ((-3/2)!/2)² = Gamma(1/2)² = (-1/2)!²

Pi = (Fak(1/2)*2)^2 = (Gamma(3/2)*2)²

Pi = (Gamma(11/4)*4/(7/2)!!)^4

Pi = EllipticK(0)*2 = EllipticE(0)*2

Pi = (EllipticK(1/2)*Gamma(-1/4)²/8)^(2/3)

Pi = EllipticK(3/4)*2*agm(1/2,1)

Pi = EllipticK(1/10)*2/hyg2F1(1/2,1/2,1,1/10)

Pi = EllipticE(1/10)*2/hyg2F1(-1/2,1/2,1,1/10)

Pi = (5*EllipticK(-4)+3*EllipticE(-4))/3/hyg2F1(1/2,-1/2,2,-4)

Pi = (BesselK(3/2,1)*e)²/2

Pi = BesselK(1/3,2/3)/Ai(1)/sqrt(3)

Pi = 2/(BesselI(3/2,1)*e)²

Pi = 1/(BesselY(0,2)*BesselJ(1,2)-BesselY(1,2)*BesselJ(0,2))

Pi = (sqrt(agm(1,sqrt(2)))*gamma(1/4))^(4/3)/2 = (agm(1,sqrt(2))*Gamma(1/4)²/sqrt(8))^(2/3)

Pi = (3*agm(1,(sqrt(3)-1)/sqrt(8))^(1/3)*gamma(1/3)/3^(3/4)/2^(4/9))^(3/2) = 3^(3/8)*agm(1,(sqrt(3)-1)/sqrt(8))^(1/2)*gamma(1/3)^(3/2)/2^(2/3)

Pi = Gamma(5/8)²*Gamma(7/8)²/(1/hyg2F1(1/4,3/4,1,1/2)²) = Gamma(5/8)²*Gamma(7/8)²/agm4(1,1/sqrt(2))

Pi = (Gamma(1/6)(1/hyg2F1(1/3,2/3,1,1/2))/Gamma(2/3)/2)² = (Gamma(1/6)*agm3(1, 2^(-1/3))/Gamma(2/3)/2)²

Pi = sqrt((1/hyg2F1(1/3,2/3,1,1/2))/(2^(1/3)/(Gamma(1/3)³*3/4)))=sqrt(agm3(1, 2^(-1/3))*3/4*Gamma(1/3)³/2^(1/3))

Pi = (Dawson(1)*e*2/erfi(1))²

Pi = ((hyg1F1[-(1/2), 1/2,-1]-1/e)/erf(1))² = Pi Integral(aus gaußsche Fehlerintegral)

Pi = hyg2F1(1/2,1/2,3/2,1)*2=hyg2F1[1,1,3/2,1/2]*2=hyg2F1[1,1,3/2,1/4]*3*sqrt(3)/2

Pi = hyg2F1(0.5,1,1.5,-1)*4=hyg2F1(-1/2,1/2,3/2,1)*4=AppellF1[-1/2,1/2,1/100,3/2,1,0]*4=AppellF1[-1/2,-1/100,1/100+1/2,3/2,1,1]*4=AppellF1[-1/2,-1/100,1/100-1/2,3/2,1,1]*8/3

Pi = hyg2F1(5,-3/2,11/2,-1/3)*128/35/sqrt(3)=-hyg2F1[1,1,-1/2,1/4]*sqrt(3)*9/2

Pi = {hyg2F1[1,2,3/2,1/4]*2-4/3}*sqrt(3)*9/8=(hyg2F1[1/3,1,7/3,-1]*27/4+9-log(64))/2/sqrt(3)

Pi = -hyg2F1[-9/2,-7/2,-5/2,1]*4/63 = -AppellF1[-9/2,-7/2,1/100,-5/2,1,0]*4/63=-AppellF1[-9/2,-1/100,1/100-7/2,-5/2,1,1]*4/63

Pi = hyg2F1[1/2,2,3/2,-1]*8-2=(-hyg2F1[1,1,-1/2,1/2]-4)*2/3

Pi = 4hyg2F1(1,1/4,5/4,-1/4)+2acot(2)-log(5)

Pi = (2*hyg2F2[1/2,1/2,1/2,3/2,-1]/erf(1))²

Pi = (2*hyg2F2[-5/2,1,-5/2,3/2,1]/e/erf(1))²

Pi = 8*hyg2F3[{1/2,1},{3/4,5/4,3/2},1]/erf(sqrt(2))/erfi(sqrt(2))

Pi = [(sqrt(3) Gamma(1/3)^6)/(4 2^(2/3)*hyg3F2(1/2,1/2,1/2,1,1,1/4))]^(1/4)

Pi = [hygU(1/2,1/2,1/2)/(1-erf(1/sqrt(2)))]²/e

Pi = AppellF1(1/2,1/2,1/2,3/2,1,0)*2

Pi = AppellF1(-1/2,1/2,1/2,3/2,1,0)*4

Pi = AppellF1(1/2,1/2,1/2,3/2,1/2,0)*sqrt(8)

Pi = EllipticE(-1)/AppellF1(1/2,1/2,1,1,-1,-1)

Pi = AppellF2(1.5,0.5,1,1.5,2,0.25;0.5)*3/2

Pi = 12sqrt(3)-12-6AppellF2(0.5,-0.5,1,0.5,2,0.25;0.5)

Pi = sqrt((log(1/x)²/2+PolyLog(2,x)-(1/x-2)²/4 * AppellF3(1,1,1,1,3,2-1/x,2-1/x))*12) mit x=10000/19999:

Pi = sqrt((log(19999/10000)²/2+PolyLog(2,10000/19999)-(19999/10000-2)²/4 * AppellF3(1,1,1,1,3,1/10000,1/10000))*12)

Pi = -log(-1)*i = Im(log(-1)) = arg(-1+0i) = -2*atan2(0,-1) = -4*atan(-1) [durch Umstellung der Eulerschen Formel {Euler'sche Identität} e^(i*Pi)=-1]

Pi = 16/sqrt(27)/JacobiP(1/2,1/2,1/2,1/2)=sqrt(2/5)/JacobiP(1/2,-1/2,1/2,1/4)=2/JacobiP(1/2,-1/2,1/2,1)

Pi = ErdelyiG(1/2)=Digamma(3/4)-Digamma(1/4)=hyg2F1(1,1/2,3/2,-1)*4

Pi = PolyLog(1,2)*i=sqrt(PolyLog(2,1))*sqrt(6)=sqrt(6*PolyLog(2,1))=sqrt(-12*Polylog(2,-1))=sqrt(12PolyLog(2,½)+6log(2)²)= =

Pi = Beta(1/2,1/2)=Gamma(1/2)²

Pi = -4*KelvinKei(0,0)

Pi = (Sin[A173201]-A173201*Cos[A173201])*2=A133731*sqrt(4-A133731²)-2*(A133731²-2)*acos(A133731/2)

Pi = Iter(1,0,3,'abs(i-x)>1e-16','x=i;i=i+8/(tan(i/4)+1)-4;','i'); (Konvergenz für Iterationsrechner)

Pi = 1/2*sqrt{3*sum (n!)³*(21n+13)/(2^(6n)*Pochhammer(3/2,n)³),n=0...inf}

Pi = 2*Si(∞)= Ci(-∞)/i = 2*Shi(i*∞)/i = 2*Chi(i*∞)/i Si(x) Pi Integral

 

Pi = sqrt(sqrt(3)*sqrt(256*[A-1711732]+203)-15) mit [A-1711732]=(pi^4+30pi²-384)/768 =
Pi = sqrt(sqrt(15)*sqrt(2783-4096*x)-105)/sqrt(10) mit x=(1536-5pi²(21+pi²))/3072 =

Pi = (3Gamma(1/3)*AGM(1,(sqrt(3)-1)/sqrt(8))^(1/3)/2^(4/9)/3^(3/4))^(3/2)=(3^(3/8)*sqrt(agm(1,(sqrt(3)-1)/(sqrt(8))))*Gamma(1/3)^(3/2))/2^(2/3)

5.1. Zusammenhang von Pi und Phi (golden ratio, Goldener Schnitt, Fibonacci)


[A01622]=Phi=Φ=Goldener Schnitt (engl. golden ratio)=(1 + sqrt(5))/2=1.61803398874989484820458683436563811772...
Fib(x)=Fibonacci(x)=(Φ^x - cos(Pi*x)/Φ^x)/sqrt(5)
§5.1.a:

Pi = sqrt(80)*Sum[(-1)^n*Fibonacci(2n+1)/(2n+1)/[A01622]^(4n+2),{n,0,Infinity}] (bei n=74 stimmen 32 Stellen)

atan(1/Fibonacci(2x))=atan(1/Fibonacci(2x+1))+atan(1/Fibonacci(2x+2)) und Pi=4*atan(1)=(atan(1/2)+atan(1/3))*4 kann man bis UNENDLICH erweitern:
§5.1.b:Pi Integral

§5.1.c: aus sin(54°)=sin(Pi*3/10)=(1+sqrt(5))/4=Phi/2 folgt Phi=2*cos(Pi/5)=2*sin(3*Pi/10) und daraus folgt:
Pi = acos(Phi/2)*5=acos([(1+sqrt(5))/2]/2)*5 = acos((1 + e^(log(5)/2))/4)*5
Pi = asin(Phi/2)*10/3 = asin([(1+sqrt(5))/2]/2)*10/3 = asin((1+e^(log(5)/2))/4)*10/3
Pi = 10asin(Phi/2-1/2)=-10asin(1/4-sqrt(5)/4)
Pi = 5asin(sqrt(3-Phi)/2)=5asin(sqrt(5/2-sqrt(5)/2)/2)
Pi = asin(sqrt(2+Phi)/2)*5/2=asin(sqrt(5/2+sqrt(5)/2)/2)*5/2
Pi = asin(sqrt(1+Phi)/2)*10/3=asin(1/4+sqrt(5)/4)*10/3


5.2. Summen mit Binom(x,y)


Pi = bei k=40 binomische Summen stimmen schon 25 Stellen.
aus folgt für x=2+sqrt(3):
Pi=

mit xs= 1/(2-sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2)))) und w=sqrt(2+sqrt(2)) wird Pi = Iterationsrechner







6. Bruch-Funktionen, die gegen Pi konvergieren


§6a aus lim x! = lim sqrt(2Pix)*(x/e)^x folgt: ein Bruch, der Pi im Unendlichen (also nie) erreicht!
So stimmt x/y=226517876251716162692149071050771828410490449602080890536575346 / 72102879408277751642507260419334203501590758230297414247167791 mit Pi auf 86 Stellen überein!

§6b
per Iterationsrechner
§6c   ; vergl. A019267(x)/A123854(x)
§6d  
§6e: lim ((2n)!!)²/(n((2n-1)!!)²),n-> inf = 2(Pi/2)^cos(2Pi*n) = Pi

Per selbstkonvergierende Iteration (online) kann man solche Brüche (Näherungswerte) sehr schnell Pi annähern!

7. Berechnung einzelner Nachkommastellen (BBP) (online per Textkonverter):

D.H. Bailey, P.B. Borwein and S. Plouffe, On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants, Mathematics of Computation, (1997), vol. 66, pp. 903-913

siehe http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piSeries.html#CITEPlouffe

siehe http://bellard.org/pi/ 2.7e12 Stellen!

siehe numberworld 1e13 Stellen!!!


Selbe Formel mit 5 verschiedenen html-Codes (6. WMZ wird von keinem neuen Browser mehr angezeigt):

§7a: Winword IE7 Symbol (veraltet):

p =

¥
å
k = 0 

 

æ
è

4


8k + 1

-

2


8k + 4

-

1


8k + 5

-

1


8k + 6

ö
ø

 

1


16k

.

 

matheboard: (LaTeX to Pixel)
Pi Summe

google apis: (LaTeX to Pixel)

html5 + MathML: π = k = 0 4 8k+1 2 8k+4 1 8k+5 1 8k+6 · 1 16 k
svgkit.sourceforge latex2SVG + html5 (nur neue Browser):


Darstellung von Formeln in unterschiedlichen Browsern
50 Stellen per Iterationsrechner online nachrechnen

Bei Laufvariable k bis 190 ergibt das folgenden Bruch aus 721 stelligen Zahlen, der mit 235 Stellen von Pi übereinstimmt:
1617924810212343095583958645489263917074653603756726363459803489541601280122712638064182187729070762444627920385200994074637080583680088013460762824844414713720586589454074788681919267327643896177372829117114464585276777016569237008433928577164358281334011468927489642746872614841135023209723560518049965603311530772286084813018008334222859534185003067567340658942679339146579684813472130379621189928525935813459302922722778095272566219155574695515318655013086552079735514690733999506165098532419513589097777812643354995633025275642109215480582628040740468702845863912977904598125915314670518500655739725680147195815753362926429964536138246981434914463428794828419527262893433431044644769275693042137796621533467287621631/
515001462192622053914758593541306646125986723929956098182240796418907727566019515416056605124377891281014595164807121694048696363842528181284393952484365507654854193342370785621993021429293321474129844341596994324836453078305707043266762039835827596733764533041200570757486964336414348681386025933341268305997779722058555581129799613512145661109977526930422731304396542938422020127678340094064662710545072370855513254943863396656144026420805701855058952228122828684533688034487323970394828979210480964649928374226502721806460856537521365095371511663322396381238207168293655719911134551847434008471362996598045466955763560672943341256665496735327105070707836846907899059102860610633123747439573801393129515720208547840000


§7b:

§7g:

§7h: Iterationsrechner

Bei davidhbailey.com findet man weitere schöne BBP-Formeln und weit hinten liegende HEX-Nachkommastellen:


Quellen: http://arxiv.org/pdf/1008.3171v2 , http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/bbp-bluegene.pdf



§7i: Andere Pi-Formeln:


§7j:

§7k:

§7l: 2006 fand Simon Plouffe PSLQ Integer Algorithmen für Pi

... usw. ...
Das mag umstänlich aussehen, Pi zu berechnen, wo Pi doch schon in der Formel enthalten ist, aber es geht um die Gelfond-Konstante exp(Pi)=A039661= siehe http://mathworld.wolfram.com/GelfondsConstant.html
Gelfond-Konstante per Iterationsrechner


§7m:
§7n: Nilakantha-Reihe 15. Jh.




8. andere Basis

§8_2...36...64:
pi(2)=11.00100100001111110110101010001000100001011010001100001000110100110001001100011001100010100010111000000011011100000111001101000100101001000000100100111000001
pi(3)=10.01021101222201021100211111022122222011120121212120012110010010122202221201201211121012101120022012021000010102201002011112000222102220110010111012110120101
pi( 4)=3.02100333122220202011220300203103010301212022023200031300130310102210002103200202022121330301310000200232332221203230103212302021101102200201321203203100010
pi( 5)=3.03232214303343241124122404140231421114302031002200344413221101040332134400432444014410423341330113231234210420111321021142010332042431202112141311221022003
pi( 6)=3.05033005141512410523441405312532110230121444200411525255331420333131135535131233455334100151543444012343544520300450024223431402513114521100202510310105034
mehr (12000 Stellen) hier: A004605_12000.txt
pi( 7)=3.06636514320361341102634022446522266435206502401554432154264310251611545652200026224361033014432336310113041005500410241253521165521055362515030331242424026
pi( 8)=3.11037552421026430215142306305056006701632112201116021051476307200202737246166116331045051202074616150023357371243154746472206154601260515574457424156477411
pi( 9)=3.12418812407442788645177761731035828516545353462652301126321450283864034354163303086781327871588536813653868168851762148301526178134358373247855487842577332
pi(10)=3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111
pi(11)=3.16150702865A48523521525977752941838668848853163A1A54213004658065227350533715271781A656371578133492888528191299206342527078127554826927697818064038618707959
pi(12)=3.184809493B918664573A6211BB151551A05729290A7809A492742140A60A55256A0661A03753A3AA54805646880181A3683083272BBBA0A370B12265529A828903B4B256B8403759A71626B8A54
mehr (122285 Stellen) hier: A068437_Pi_Basis12.txt
pi(13)=3.1AC1049052A2C77369C0BB89CC9883278298358B370160306133CA5ACBA57614B65B410020C22B4C71457A955A5155B04A6CB6CC2C494843A8BBBBA9A039B77B34CB0C036CAC761129B3168B8BA
pi(14)=3.1DA75CDA81375427A40ABCB1BD47549C89BCB6861D3327C740CAB809A52D0DD5171874504A5481CC915490BB577DC25630B527C8356122BAD70131C04A8B2D1A1C9A5236312D9A357858DA067CB
pi(15)=3.21CD1DC46C2B7E508484773E06919D1E50963DB79C69739EA3731E79CDE10A8ED4C630A83B9B5DA464A91520862AA1A464DDA50BE4AA52C1C457541ED5AE5DD2DA6A15A14CD9A051BD6C7627251
pi(16)=3.243F6A8885A308D313198A2E03707344A4093822299F31D0082EFA98EC4E6C89452821E638D01377BE5466CF34E90C6CC0AC29B7C97C50DD3F84D5B5B54709179216D5D98979FB1BD1310BA698D
pi(17)=3.26FAG579ED6GF1413F0AF7855FCE249G1B2A9C3BDG24F4FG2B42G270F00G40CDB536C5E2GE49G61C609FB13C861DB930F24B10E4GE680GFGE9AD5FE5CB1182E4A3FDF3472F077G68A4F90A1AA7A
pi(18)=3.29FDEH0G77189360685DB34F346AF733GCH9827F345H0BD5A47E3F0D962H9FH32CF2E9129G62H2H3A4B334A2167A375HH5F153HAH35C81EGBGB191CEF90G7940779FF3273H0EG383G250GCCD025
pi(19)=3.2D23982975GG3C88D5H547H80D1C828132GB103H4D78A5IF952CE3GG93IFC0829CEG62C96IB05DI69840CG9CHG58D1AC741A3A9A62EA2DDEF0G1EI62B79E7I37HFF679327F803GBD05IB8F1318A
pi(20)=3.2GCEG9GBHJ9D21HIHB3EGACB0361EB2BFB8H83987DEBH5180CFAG88D2C627C3FIACDI7DDID6EC0D0FE3D9H4BD40548BED71641AG4HG1ECACC9DD1379I2D420C9J3AIE2BJ022DAFH82E9F6A3949B
pi(21)=3.2K961EDI5H86B6092EJBA5IC88F6GAFI01CFD6KEGDFEAE9636H1K6AEA8D9K9JEA44A5HKF39H76928FA87718JKG4FA6C3F3ED8AKG42I591AH72G8A3H0A437D7G2508B92CA7ICA0EI0DA2KKADFIDB
pi(22)=3.32BEK9A809GC6CI2DL3H0HDK921A02DA797FF2F5G765IA0K5JLFDC80IA8LJ2FIFGBCI035G3KF4J4CH4G9B66E0F1GKJK12D2I4K61KJLE42LI5GIHHE6BAK36FJ6E62C15G31B6F39GAKEG7DF36CE6D
pi(23)=3.35KH9K813JK9G9D60JJ1570LIA3CMBM3L2JKM49097G1GGI869M5724CK6H50JK0MGBB021C0F5576EF95ABC5MGD334CKAF4HMLHF3FJ2A6L06MA8CEC7CC2KAK94MGAHK3A8F93CL6FB1324F503C4A2
pi(24)=3.39D911BCLK44AC77AL474H7NMLKB0EE48NAI8232M878E7ECL49G4JLDJ9H1931IEI127B3IKI93D9H34669A05856E5LECLKLKBHD0531I0EC91ICBBF0L3KA8643AFBG3G41FN2L8605FHK14K69A3
pi(25)=3.3DC9FINE6E7E492GM69FAG0C0JO8C6143H8O0NEO1O5MILI18D7JB4A68B26M13H4EGAB7986C5C0F2443HE5N41JINHOOBN255D7EN2NCKE0F9JHG73J580I17IAFHGNLM6DLDC135C559FAO27H1
pi(26)=3.3HIGBEBOHJHE3DB7DGJ6AK3G6JK8HND4G12A1IP8LGGL63C4BCK4NHE8G8O0BLKPL41C89FGGNBAFBHD25M9F1OC66E79CCG8ICII284A7L3KJ2NJ9FI1M7K5ECG90EIO6FEMKFOCB85I588PHDP
anderer Zeichensatz (20000 Stellen aus 1 Mio.) hier: PiBasis26_ZeichensatzA_Z.txt oder Suche Wort in Pi Basis 26 und 30 (auch Umlaute)
pi(27)=3.3M5Q3M2DCPQODJNGIG99AQ8N55DLG4IOFL0A836DF2P8J9ACGAJ310Q7OC8HLEQNB846G8KJKQFGIJEL0E81NJACHLM2EHGMQHCNNC9PKG41LL44BQ67DG3L06ENJ1MBKNIF66359AHI8KCMLFQ
pi(28)=3.3R06LIOJPLRA7747BCODKOI0Q488G1IFCPQRO1BKJNR2QPF3L66Q15H358DDLGE07483I4RQC09CQEKD29J968GFGAIJKIP4FB60CH0O6COAANF7L6NLF34HDBH5G3NGCD92P00P327OHGC4B
pi(29)=3.4328N0CJQMJQCB9I47BEQAEH9N7RQ0PBCO4482CPIKDAJICKASD18R92QN6PDQA08E8L3RH869BO3FFHHS0FNAIAJ33B31A8KI9S12COO24BAI4COEA3E9NS383F5RIH9LOE813AFD5CB9B
pi(30)=3.47D01EE07R08D7J8NHNEEF457GLGCR9HFRHSHJ92ASEDI3HJE8A0LJQE94EMH39H7HDK3807O4P7DSRCEMBM7G6KPIK34EA2L3OQICEAP6H21CG1BH207RIP330R1N414725SIKF9DF3HR
pi(31)=3.4C25OE856S61N7CUKNR8G3N4HOT1SIIUN64OE9RSOT55JD8LB3BE41328LARIQ622F94JSSB1BDR86PR91UEQTCLAJ0J2LDRF343O16UMHLGPBGOJOMJPLGI9U662GEUTK6OJLHBO0GTO
pi(32)=3.4GVML245KC4D64OPH8N06S3J8II0IE1256FJ3K085RT9HR2EDI4KAA11SOSD04RNNPA6DJPKT466PG5C56RSIV2GRKVO9LDLML3GI5SI2RATJ2BPVCDT2C8BKQCDVDDC5VUN5MUG3BD
pi(33)=3.4M6DN4OW9R5KAHGGCSMCEV63K47RM05LJ726IB3MV14U57VBW975QLURELV4IJBEMFQIDAE3VMH18UDC10L7IS1G2O8QI4MKMS27TIBNIHFAE1374TBURNOAWMGWDCLUVIHTDBAVLT
pi(34)=3.4RN5C8IANV8BNANX8QK2OVNGFC96HNC8FKW1VXWK4WMGV6CMJ30LOSKBJ77NCV2BEPCES0SCL2L2HXOVLJBRGMDRDQHFN42TRT348NWQPT42KHN6PHT62VN1V4TAISW7921PM0M10
pi(35)=3.4XFRGMTM53RWA23OKL93476D73DCUY1SDOEFOFDJ9SGIS4H3KYMY54PI86IJI5W8PF1EK54G1TB4WNC43XSF0G3R3T8K5HBYBXJJS0GTKDVUVFOQBJY7SI33AHK1M9CR4TTRA016
pi(36)=3.53I5AB8P5FSA5JHK72I8ASC47WWZLACLJJ9ZN98LTXM61VYMS1FRYTCI4U2QFRA2VJAW70CH6J153P3Z9ZL55UKZL0KAPWJYGJOU067IY9WNZDZ9N4JLTEDTIW2B65ACRPIL9KZ
...
pi(48)=3.6cB0XkaekIQY7kWKILlSggbE5bQOhJT3EBeTETbD5FUb66O5VU7B1MWZKCERe8QWAIPdHgiTLcSQalMKaBNX3BZfAA9jeeVKkA8N7V4lkKhIJjAgU2H6OaUPAGGIeNTKOiZSdjMjd0GiT26aXNb2OcNQ1Y5
pi(48)=3.6*B0X:+>:IQY7:WKIL.S//-E5-QO!JT3EB>TET-D5FU-66O5VU7B1MWZKCER>8QWAIP>VK:A8N7V4.:K!IJ A/U2H6O+UPAGGI>NTKO?ZS< M <0G?T26+XN-2O*NQ1Y5
...
pi(64)=3.93zgY8MZ2DCJ6Oek0t1pHAG9E28fdp7G22xwcEnER8b5A27cED0JTxvKPiyqwGnimAmfjybyKDq|XDMrjKS95v8MrTc9UViRqJ4BffZVjQml|NBRq1hVjxZXh
pi(64)=3.93\/Y8MZ2DCJ6O>:0&1)HAG9E28=<)7G22€_*E§ER8-5A27*ED0JT€@KP?^°_G§?$A$= ^-^KD°,XDM% KS95@8M%T*9UV?R°J4B==ZV Q$.,NBR°1!V €ZX!"%/9<_M:<(GHV4?V@++>P-7?@5?\$W1^:A
mehrere 1000 Stellen Basis 64 siehe Iterationsrechner Beispiel 117


LINKs:
Ziffernhäufigkeit von Pi
Eulersche Zahl e = A001113
numberworld: 12.1 Trillion Digits of Pi
Weltrekord: 22.4 Trillion Digits of Pi
y-cruncher: 1 Mrd. Stellen von Pi in weniger als 4 min berechnen (8 GB RAM, i7 CPU)
Pi in der Mandelbrot Menge
Geschichte der Zahl Pi