Ziegenfaktor - Neuer Weltrekord: 1111111180 Stellen (1.1 billion digits)

A133731_Ziegenfaktor_Grazing_Goat
A133731  Ziegenaufgabe: Faktor, um den die Leine länger als der Radius des Kreises sein muss, damit nur die Hälfte gefressen werden kann Home...
 Decimal expansion of goat tether length to graze half a unit field. Wiki: Faktor des Ziegenproblems ; (Grazing Goat)
Algorithmus: x=PI/(PI*x-sqrt(4-x²)+(4/x-2*x)*asin(x/2)) ; selbstkorrigierende Iterationsformel siehe Iterationsrechner: Beispiel 6 siehe auch Beispiele: 3 bis 6 und 36
verwandte Konstanten: A173571 = sqrt(1-A072112^2) = sqrt(1-(1-A133731^2/2)^2); A075838 =(A173571+PI/2-asin(A173571))/(A133731^2); mit A072112=1-A133731^2/2; A133731=cos(A173201/2)*2;
Berechnung: 1988 Dauer: 1h Einfacher Taschenrechner: neues x in Formel einsetzen Genauigkeit: nur 8 Nachkommastellen 1,15872847…
Berechnung: 2009 150 Stellen
Berechnung: 10.02.2010
10000 Ziffern (also 9999 Nachkommastellen) und Ziffernhäufigkeit: 1158728473.pdf html5 Ansicht Google Ansicht siehe auch Nachkommastellendatenbank
Berechnung: Juni 2010 Dauer: über 13h wenn Startwert x mit 10000 Stellen stimmt
Ziffernhäufigkeit 50000 Ziffern (incl. 1 also Index 0…49999)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sum: χ2
5038 4972 4973 5041 5039 4995 5016 4973 4958 4995 50000 1,7916
5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000
Berechnung: 29.10.2011 Dauer: 13h 14 min (ohne FFT Multiplikation oder Multiprocessing aber neuem Algorithmus: nur 2 Iterationen, wenn Startwert x mit 70000 Stellen stimmt)
Ziffernhäufigkeit 100000 Ziffern (incl. 1 also Index 0…99999)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sum: χ2
10077 9899 10012 10193 10092 10076 9844 9898 9966 9943 100000 10,6908
10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
Berechnung: 23.02.2017 Dauer: 10 min 4 Iterationen mit Startwert der letzten 100000; Validierung mit 2 Algorithmen
Ziffernhäufigkeit 1600000 Ziffern (incl. 1 )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sum: χ2
160335 160142 159838 159689 160487 159970 159314 160218 160043 159964 1600000 6,3418
Berechnung: 04.03.2017 Dauer: 10 h 4 Iterationen mit Startwert der letzten 1.6 Mio.; Validierung: 3,4 h
Ziffernhäufigkeit 25600000 Ziffern (incl. 1 )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sum: χ2
2561606 2559908 2560491 2557557 2560479 2559789 2556653 2558937 2561653 2562927 25600000 12.77465156
Berechnung: 07.03.2017 Dauer: 13 h 1 Iteration mit Startwert der letzten 25.6 Mio.; Validierung: 7 h
Ziffernhäufigkeit 50000000 Ziffern (incl. 1 )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sum: χ2
5002186 5002171 4997479 4996615 5002044 5000183 4995905 4997670 5003092 5002655 50000000 14.0648684
Berechnung: 03.12.2017 16,8 h + 16,8 min 1 Iteration mit Startwert der letzten 50 Mio.; Validierung: 31 min
Ziffernhäufigkeit 100000000 Ziffern (incl. 1 )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sum: χ2
10000228 10005471 9998041 9995327 10001400 9998374 9992594 9997239 10005776 10005550 100000000 18.6898944
Berechnung: 07.12.2017 38 min + 37,9 min 1 Iteration mit Startwert der letzten 100 Mio.
Ziffernhäufigkeit 200000000 Ziffern (incl. 1 )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sum: χ2
19996740 20004263 20000524 19995875 20001564 20000187 19987837 19997066 20009848 20006096 200000000 16.963164
Berechnung: 09.12.2017 46,6 min + 46,2 min 1 Iteration mit Startwert der letzten 200 Mio.
Ziffernhäufigkeit 240000000 Ziffern (incl. 1 )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sum: χ2
23991827 24006463 23998978 23998009 24005666 24000885 23988655 23997530 24007865 24004122 240000000 15.00511158
Berechnung: 12.12.2017 1 h 29,1 min 1 Iteration mit Startwert der letzten 300 Mio. ; Validierung: 1h 32 min
Ziffernhäufigkeit 323000000 Ziffern (incl. 1 )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sum: χ2
32291777 32309241 32298377 32298615 32305934 32301244 32286817 32296848 32307573 32303574 323000000 13.875432
Berechnung: 31.12.2018 2 h 30 min 1 Iteration mit Startwert der letzten 320 Mio. ; Validierung: offen
Ziffernhäufigkeit 400000000 Ziffern (incl. 1 )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sum: χ2
39992458 40010071 40000239 39999872 40003452 39998336 39986926 39995940 40006473 40006233 400000000 11.030715
Berechnung: 23.01.2019 4 h 40 min 1 asin-Iteration mit Startwert der letzten (600 +) 900 Mio. ; Validierung: mit atan-Iteration
Ziffernhäufigkeit 1000000000 Ziffern (incl. 1 )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sum: χ2
99981205 99999714 100017807 99997487 100012463 99987762 99978174 100001789 100011485 100012114 1000000000 17.4006227
Berechnung: 17.03.2019 5 h 1 atan-Iteration mit Startwert der letzten 10^9 ; Validierung: bis 10^9 asin
Ziffernhäufigkeit 1111111180 Ziffern (incl. 1 )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sum: χ2
111091611 111113178 111130276 111104396 111124646 111098662 111093366 111111702 111123293 111120050 1111111180 15.1076278973
Nachkommastelle bis Position=:
1. 1587284730 1812151782 8233509933 5091496882 9226649209 :50
6511820695 8848206698 0255919609 3199321610 7308604381 :100
8015150178 2053715568 9860074230 9936662491 8943958602 :1000
8229406483 1462207295 0371802424 5888259590 9472311675 :10000
2188302201 5617857464 1795204510 8704274686 1979661560 :50000
4354328147 8008847994 7161760350 3867159059 6532584394 :70000
0852423537 5827974371 4014234990 4371573268 3531501309 :100000
9138459775 7764342330 6321579934 7896618132 0555212597 :100050
6471261263 2565978907 0767019978 8231399393 7111361415 :1600000
6575960679 2145275829 8094345857 5815609626 2685699328 :25600000
7388113293 7376372005 2768466759 4135534644 8073580932 :50000000
hexadezimal: 1.28A26DE08E8DBE57207FD9DC3019B43DEB3BD3F01D4A3F7871D69D66B4D3A3BD35084979BC0A7CA127E22315660712C8B11F2441DE4797C626B7706FE6B...(hex)

Links:

 Marshall Fraser, "A Tale of Two Goats", Mathematics Magazine. 55 (1982) 221-227
http://oeis.org/A133731
http://www.mikrocontroller.net/topic/96143
http://www.bigbandi.de/dokus/ziege/
http://mathworld.wolfram.com/GoatProblem.html
http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.grazing.html
http://institute.unileoben.ac.at/amat/lehrbetrieb/num/vl-skript/skripts05/node30.html
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=450 (http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/dl.php?id=17&1428670600)
http://www.houstonact.org/Pete/UH_presentation_problems.doc
http://www.hans-henschel.de/binichs/text/loesungen/ziege.html
http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/naeherung3.htm
http://www.khloebel.de/mathe/Ziege/Ziege.html
Video:
https://www.youtube.com/watch?v=RclseEhTek8
Liste-mathematische-Rekorde



2020 erstmals geschlossene Lösung:
Ziegenfaktor-Contour-Integral

Abgewandelte 2D-Flächen:
https://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem_(Geometrie)
http://mathworld.wolfram.com/GoatProblem.html Fall L/R=Pi
http://www.houstonact.org/Pete/UH_presentation_problems.doc Seite 13-17
https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Goat_outside_fence
https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Goat_outside_fence#/media/File:Upnorensis.png
(page 41 of "The Ladies Diary: or, the Woman’s Almanack", 1748 )
https://archive.org/stream/mathematicalque00leybgoog/mathematicalque00leybgoog_djvu.txt
https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Goat_outside_fence#/media/File:Upnorensis_2.png
http://www.math.ucsd.edu/~jeggers/Archive/2015Summer/Math20E/goat.pdf
http://mathforum.org/library/drmath/view/53763.html
http://www.mathalino.com/reviewer/integral-calculus/area-grazing-goat-tied-silo
http://mathematica.stackexchange.com/questions/112328/plotting-3d-image-for-the-grazing-goat-and-silo-problem
http://www.tomlaidlaw.com/goatandsilo/roundsilo2.htm
http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Fa09/Gonterman/FinalGonterman/GontermanF1.html
http://www.math.harvard.edu/~knill/hatsumon/goat.pdf
http://euclidsmuse.com/members/tomlaidlaw/apps/app/536/ mit online Animation!

https://www.youtube.com/watch?v=zFJSQuvbSgw

Abgewandelte 3D-Volumen {(kubischer) Ziegenfaktor (Conjoined spheres)}:
https://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem_(Geometrie) (Ziege im Weltall)
2/3=x²*(8x-3x²)/12 ->
x=1/3*(2+sqrt(4+3(4-2 sqrt(2))^(1/3)+3(2(2+sqrt(2)))^(1/3))-sqrt(8-3(4-2sqrt(2))^(1/3)-3(2(2+sqrt(2)))^(1/3)+16/sqrt(4+3(4-2sqrt(2))^(1/3)+3(2(2+sqrt(2)))^(1/3))))
=1.228544863735220903448994497685293465644191645518602641590819524510972723446884672960074937070069469764374107501972875128033033307182202911461357551493533396097716441291667117781714354175591215722056285255487998488302197212855731443346923583070608981413790520777015410892657583107466573176288573928039844502921009745104326044990006852003007191270510586372727263190791748766751006555523558896022892345494976653468630261031721953400582705461833859899220211398761453741665299526703098913174746818538090254210116688777811260355155659622037403423023178876089825423784339889979742689366629201028664676851913983578629352169823421998722913974275216255553871129777720781421716255001217455787618144244564944285279389761334847489596129774029168944981011321686894677050989758130718041409587502206873966017231617840972593186191147629782480398108729762202656429255799931677957186134177159490319657931385867533133623877487855208495144523173179383457540098599016532103316330868367518696041365559950573730075911703779541234387671771687970361903889191995228925211078520475305912978793998910400318608129942511683482313103690462565004071056613098027362974143301255127583846440508251845981806465132517781281998085105752500018898329919982084880564807874679439915256188328889697266359621504466302722155946185741530691046185583969134820776950579672709222125908439289723545441144211937818041687942970497344676422014401586524786326866345436594274800344211750677042531346385480753075451170811842256453470638084314592382600763384855461467665172106528830621331937812488405540494025704611437959658463530760949764414926625897880894078879992372174367080011767472836893262897259513027428502108180075224285060104892543417769987835455181697329395675716808094989107852045875205415061500454139432163934874784686631224786495696978435288982162016674517161457676508284347480064991596599890212701610459874761038505913484948551756793801337192391361014923702580618158660356626168776866664240201498344695385425770988461579953263236179038471551555501741272723206324353890200528429983940711293873006790817375524452907838825147856812421619642631485006594691733234828107247150118745059281736022170128047131574396885406841300423309173550161826060549124463692491274519379012357520103433643326379992641511663310354700836669611773542023211784902233039593023166038946223133209197333261647576751832934050355219673745339061493396990213124758440479994572196461709003704543732058312538267051232606103416485608999713033742481203780189707590273012651822574366219688798805968907298483030670321260696676029143595249004471004997877558125395523782236400702205963585110380132446382287253946562038740260530320583303409067911250223983735827684083312375888993010149994443234073618520766259081788160458163902302048390558999862378646491585557942906027833708453578346951155169595664583570744367121530841802163512114676690190164376301457456716842971389547247847553969834450680834653514728646104812768368994658792818001042288785976563899086285632896732506858731781012680433347027335154894798420041818593415969324523864116915680304221326640457638314974217876059394499616400685531042766903840985797053334694881837498372084567440628738633166502635156621302777637801959897789

sphärischer Ziegenfaktor:
http://math.stackexchange.com/questions/45788/calculate-the-area-on-a-sphere-of-the-intersection-of-two-spherical-caps
http://ie.kaist.ac.kr/isyse/professor/tech_file/Concise+Formulas+for+the+Surface+Area+of+the+Intersection+of+Two+Hyperspherical+Caps.pdf