Nichttriviale Grenzwerte (Non-trivial limits; Gerd Lamprecht)

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§1:

§2:

§3:

;

;
§3b:

§3c:

§4:

; d.h.:

;

§5:aus §1, §2, §3 und §4 folgt:

§6:aus lim x! = lim sqrt(2Pix)*(x/e)^x folgt:

ein Bruch, der Pi im Unendlichen (also nie) erreicht!

§7:lim log(x!) = lim x*log(x);

;

§8:

§9:

§9 b:

§10:

Lerch(-1,1,B/A)/A= hyg2F1(1,B/A,B/A+1,-1)

§10a:

; Zeta(2,y) = PolyGamma(1,y) = hyg3F2[1,y,y, y+1,y+1,1]/y²

§10b: $\lim_{n \to \infty }\sum\limits_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}=\lim_{n \to \infty }\left[\frac{(-1)^n}{16}\Psi \left(1,\frac{2n+3}{4}\right)-\frac{(-1)^n}{16}\Psi \left(1,\frac{2n+5}{4}\right)\right]$ + hyg3F2(1/2,1/2,1,3/2,3/2,-1) = A006752=0.915..=Catalan's Konst.

§10c: A=2, B=1 ergibt

= hyg3F2(1,1/2,1/2,3/2,3/2,-1)= Beta(2,Dirichlet)=A006752=0.915..=Catalan's Konst.
§10d:

§11a:

siehe A000110
§11b: $\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{a^{k}\cdot k!}=e^{\frac{1}{a}} ; A001113 = e = \left(\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{10^{k}\cdot k!}\right)^{10}$ schnelle Konvergenz zum Berechnen der Eulersche Zahl

§12:

=1.10461783244907976840066196... siehe Zeta(x) Wissenschaftlicher Online Rechner mit Umkehrfunktionen
§12b: $\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k}(205k^{2}+250k+77)(k!)^{10}}{((2k+1)!)^5}=64 Zeta(3)$ =77 hygxFy(6,5,-1/1024,,1;1;1;1;1;1 , 3/2;3/2;3/2;3/2;3/2) -125/3888 hygxFy(6,5,-1/1024,,2;2;2;2;2;2 , 5/2;5/2;5/2;5/2;5/2) -205/7776 hygxFy(7,6,-1/1024,,2;2;2;2;2;2;2 , 1;5/2;5/2;5/2;5/2;5/2)
§13:

§14:

= A191503 = 1.7523515580810808267140866648...
§15:

= A115563 = 2.1097428012368919744792571976...
§16:

§17:

= A118582 = 38.4067680928217... {10^(3.14*10^86) Summanden für 2 Stellen!}
§18:

= PolyLog(a,1/B) ; B=1 und a<=1 ergibt ∞
§18b:

=LerchPhi(1/b,-a,0) ; |b|>1

§19:Hyperbolische Funktionen nach exp(x) wandeln:

§20:

analog

§21:

§22:

§23:

§24:

§25:

§20-§26:

§27a: $\sum\limits_{k=0}^m \frac{1}{n+k}=Digamma(n+m+1)$ - Digamma(n)
§27b: $\lim_{n,m \to \infty } \sum\limits_{k=0}^m \frac{1}{n+k}=\lim_{n \to \infty }Digamma(2n+1)-Digamma(n)$
§27c:für große n gilt: $Digamma(n)=\log(n)-\frac{1}{2n} -\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{Bernoulli(2k)}{2k\cdot n^{2k}}$
§27d: $\lim_{n \to \infty }Digamma(2n+1)-Digamma(n)=\lim_{n \to \infty }(\log(2n+1)-\log(n))=\log \left(\lim_{n \to \infty }\frac{2n+1}{n}\right)=\log(2)$

§28a: $\lim_{x \to \infty}(HarmonZahl(x-1)-\log(x))=-Digamma(1)-\lim_{x \to \infty}\frac{1}{2x}+\frac{1}{12x^{2}}-\frac{1}{120x^4}+\frac{1}{252x^6}-$ ... =gamma = A001620=0.5772156649015328606...
§28b: $\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n}-\log\left(\frac{n+1}{n}\right)\right)=\gamma$ = A001620=Euler-Mascheroni Konstante (Euler's Gamma)=0.5772156649015328606...
§28c: $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\left(\frac{1}{n}-\log\left(\frac{n+1}{n}\right)\right)= \log\left(\frac{4}{\pi}\right)$ = A094640=0.241564475270490444691...
§28d: $\sum\limits_{n=2}^\infty (-1)^{n}\frac{Zeta(n)}{n2^{n}}= \frac{\left(\gamma -\log\left(\frac{4}{\pi } \right) \right)}{2}$ = 0.1678255948155212079577375992595540032692269400673623310390151436851...
§28e: $\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{Zeta(n)}{n2^{n}}$ = 0.283757110473933656768457630635328140302567738487693986353927918293635021553580704423338103491871479...
§28f: $\lim_{n \to \infty }\left(n-Gamma\left(\frac{1}{n} \right) \right)=\gamma$ = A001620=0.5772156649015328606...
§28g: $\lim_{n \to \infty }\left(\log(Prime(n))-\sum\limits_{k=1}^n \frac{\log(Prime(k))}{Prime(k)-1}\right)=\gamma$ = A001620=0.5772156649015328606...
§28h: $\lim_{n \to \infty }\left(\frac{n^2}{n+1} -\frac{Gamma\left(\frac{1}{n} \right)\cdot Gamma(n+1)\cdot n^{1+\frac{1}{n}}}{Gamma\left(n+2+\frac{1}{n}\right) }\right)=\gamma$ = A001620=0.5772156649015328606...
§28i: $\sum\limits_{k=2}^\infty (-1)^k\frac{\log(k)}{k}=\gamma \cdot \log(2)-\frac{\log(2)^2}{2}$ = 0.1598689037424309717569478703249165704962220237564587426708245296396570021840290046595550340320...
§28j: $\lim_{x \to \infty }\left(\sum\limits_{k=1}^x \frac{\log(k)^{n=0}}{k}-\frac{\log(x)^{(n=0)+1}}{(n=0)+1} \right)=\gamma$ = Stieltjes(n=0) = A001620=0.5772156649015328606...
§28k: $\int_0^\infty \! \frac{\log(x)^2}{e^{x}+1}\, dx=\left(\frac{\log(2)^{2}}{3}+Zeta(2)-Stieltjes(0)^{2}-2Stieltjes(1)\right)\log(2) =$ 1.12119248545455773840341165864446543417192723923932809350838351813422431901023715922923482094112176...
bei http://de.wikipedia.org/wiki/Stieltjes-Konstanten falsch (da steht 1/3 außerhalb der Klammer)!! siehe Internetfehler §15
§29a: $\lim_{n \to \infty } \frac{A= \sum\limits_{k=0}^\infty \left[\left(\frac{n^k}{k!}\right)^2 \sum\limits_{j=1}^k \frac{1}{j} \right]}{B=\sum\limits_{k=0}^\infty \left(\frac{n^k}{k!}\right)^2}-\log(n)$ = A001620=Euler-Mascheroni Konstante (Euler's Gamma)=0.5772156649015328606...
§29b: $\lim_{n \to \infty } \frac{A}{B=\sum\limits_{k=0}^\infty \left(\frac{n^k}{k!}\right)^2}- \frac{\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(2k)!^3}{k!^4(16n)^{2k}} }{4n B^2} -\log(n)$ = A001620=Euler-Mascheroni Konstante (Euler's Gamma)=0.5772156649015328606...
§30: $\int_0^\infty \! \frac{x}{(1+x^2)(e^{2\pi x}-1)} \, dx = \frac{\gamma}{2}-\frac{1}{4}$ = 0.0386078324507664303032560450412012155210796679699617994028836174424338633888323354684735164587...
§31: $\int_0^\infty \! \frac{\log(x)^2}{e^x} \, dx = 2x \cdot hyg3F3(1,1,1,2,2,2,-x)-\frac{\log(x)^2}{e^x}-\log(x)^2-2\gamma \log(x)-2\log(x)\Gamma(0,x)|_{0}^{\infty }$ = $\gamma ^2 + \frac{\pi ^2}{6}$ = 1.978111990655945110790791303001269415878367041456428...

§32: $\int_0^\infty \! \frac{\log(x)}{e^{x^2}} \, dx =\frac{\sqrt{\pi}}{2}erf(x)\cdot \log(x)-x\cdot hyg2F2(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{3}{2},-x^2)|_{0}^{\infty }$ = $=\frac{\sqrt{\pi}}{-4}(\gamma + \log(4))$ = -0.8700577267283155067346487995360874375081073336259...

§33a: $\int \! \frac{\log(x)}{x^{2}-1} \, dx = \frac{1}{2}\left[ -Li_{2}(1-x)-Li_{2}(-x)-\log(x)\log(x+1)\right]$ mit Limit -> ∞ = Pi²/6; Nullstelle = 0.42504070656343112850096486455632122593436146969993960726127005014342022659021801086571967879941340204182604152994585818912505061552544909556205722765273701985051155223533377436709840740196730663983071105606807465470734435717997975... $Li_{2}(x)$ = PolyLog(2,x)
§33b: $\int_0^{\frac{1}{2}} \! \frac{\log(x)}{x^{2}-1} \, dx = \frac{1}{24}\left[ -6Li_{2}(1/4)+ 2\pi^{2} -\log(9/4)\log(64)\right]$ =0.89607737190373384738742172145597915761038501975384421589352892402949499967887115635566797440232925103000964506132503774339166461081957342901422141601474046273334296410493111701738194661433652267668...
§33c: $\int_{\frac{1}{2}}^1 \! \frac{\log(x)}{x^{2}-1} \, dx = \frac{1}{12}\left[ 6Li_{2}(-1/2)+ \pi^{2} -\log(9/2)\log(8)\right]$ =0.337623178232435979966889653528539734303827406151254612408139747998010603123529499019553701062489777947993594160427855266329878904434182411937105793733409244890457017920890836804056308539768518420923...
§33d: $\int_0^1 \! \frac{\log(x)}{x^{2}-1} \, dx = Li_{2}(-1/2)/2 -Li_{2}(1/4)/4 + \pi^{2}/6 -\frac{\log(2)^2}{4} = \frac{\pi^{2}}{8}$ =A111003=1.2337005501361698273543113749845188919142124259050988283016686720275056028024006553752216754648190289780...
§34: $\lim_{n\rightarrow \infty}{ } \frac { { 1-(1-\frac { 1 }{ n } ) }^{ p } }{ 1-(1-\frac { 1 }{ n } ) }$ = $\lim_{n \to \infty}\left(1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^{p}\right)\cdot n$ = $\lim_{n \to \infty}p-\frac{\left(p-1\right)p}{2n}+ \frac{\left(p-2\right) \left(p-1\right) p}{6n^{2}}+Rest\left(\frac{1}{n^{3}}\right)$ = p
{oder mit x=exp(log(x))} = $e^{ \lim_{n \to \infty}\log\left(\left(1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^{p}\right)\cdot n\right)}$ = $e^{ \lim_{n \to \infty}\log\left(p\right)+\frac{\frac{1}{2}-\frac{p}{2}}{n}+ Rest\left(\frac{1}{n^{2}}\right)}$ = p

§35:

mit Limit m -> ∞ ergibt das 0 + sin(x); hyg1F2(1,...) online Rechner
§36:

mit Limit m -> ∞ ergibt das 0 + cos(x); hyg1F2(1,...) online Rechner
§35 + §36:

§37: $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{a*n^2 + c}$ = [sgn(-c)+{b=Pi*sqrt(abs(c))/sqrt(a)}*{(sgn(c)+1)/2*coth(b)+(sgn(c)-1)/2*cot(b)}]/abs(2*c)
§38a:

§38b:

§39: Polstellenumgehung für ganze n ab n>=3:Hebbare Definitionslücke ab n > 13/4-sqrt(5)/4

Natürlich gibt es weiterhin Polstellen bei 13/4+sqrt(5)/4 und bei 2, 1.75, 1.5, 1, 0.75, 0.5, 0.25, ...
Hebbare Definitionsluecke (Polstelle)

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Table of Series and Products (Gradshtein, Ryzhik, Jeffrey)
Table of Series and Products (Ryzhik, Jeffrey, Zwillinger)
Table of Series and Products (Hansen)
Taschenbuch der Mathematik (Bronstein)