Volumenberechnung beliebiger Körper mit Integralen (Gerd Lamprecht)

Volumenberechnung beliebiger Körper mit Integralen ( Gerd Lamprecht)

Das Volumen eines beliebigen Körpers per 3fach Integral entlang der 3 Raumkoordinaten:

Für Rotationskörper mit kreisförmiger Grundfläche kann man 1/4 der runden Fläche berechnen:

=(x* sqrt(r²-x²)+r²* asin(x/r))/2|0...r =asin(1)*r²/2= 1*hyg2F1(1/2,1/2,3/2,1²)*r²/2 = Pi*r²/4

(ganze Fläche mal 4 also A=Pi*r²) Dieser von den 3 Raumvariablen unabhängige Faktor kann vor das Integral gezogen werden.
Durch Kippen des Körpers nach rechts entsteht eine Rotation um die X-Achse: aus x1 wird 0 und x2=h
Volumen:

; Mantelfläche: $M=2\pi \int_a^h \! f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^{2}}\,dx$ ; Kurvenlänge: $l= \int_{x1}^{x2}\sqrt{1+[f'(x)]^{2}}\,dx$

einfachster Spezialfall Zylinder: f(x)=r
$V=\pi \int_0^h \! {(r)^{2}} \, dx=\pi \cdot r^{2}\int_0^h \! 1 \, dx=\pi \cdot r^{2}\left(h-0\right)=\pi \cdot r^{2}\cdot h$

Spezialfall Kegel: Spitze im Nullpunkt h=x2 (nach rechts): f(x)=r*x/h

denn $\frac{\pi \cdot r^{2}}{h^{2}}\int_0^h \! x^{2}\,dx=\frac{\pi \cdot r^{2}}{h^{2}}\left(\frac{h^{3}}{3}-0 \right)=\frac{\pi \cdot h\cdot r^{2}}{3}$

Spezialfall Kugel: Mitte der Kugel im Koordinatenursprung (Radius r nach rechts) nur rechte Hälfte: f(x)=sqrt(r²-x²)

Spezialfall stumpfe (Hühner-)Eikurve: f(x)=sqrt(aB[2]²-(x*aB[2]/aB[3])²) gezeichnet mit dem Universal Diagramm (Plotter)

V= linke Hälfte (dicker bis aB[1]) + rechte Hälfte (spitzer bis aB[3]) mit der Integralrechnung (zunächst 1 Hälfte ohne Pi):
nicht

sondern mit f(x)² und

mit Pi und Integralgrenze 0...c ergibt das rechte Volumen-Integral Pi*2*aB[2]²*aB[3]/3 und analog die dicke linke Hälfte Pi*2*aB[2]²*aB[1]/3
ergibt für beide zusammen die Volumensumme: V = 2*Pi*aB[2]²*aB[1]/3+2*Pi*aB[2]²*aB[3]/3 = 2/3*Pi*aB[2]²*(aB[1]+aB[3])
mit A019693 = 2/3*Pi = 2.094395102393195492308428922186335256131446266250070547316629728205210937524139332418689883561411...
Test: r=aB[1]=aB[2]=aB[3] ergibt 2*Pi*r²*2*r/3 also Kugelvolumen siehe oben!

Spezialfall spitze (Pinguin-)Eikurve: f(x)=sqrt((1-x*x/pow(aB[1],2))*(1-[c=3]*x/(4*aB[1]+4*aB[2]))*pow(aB[2],2)) Universal Diagramm (Plotter)

nicht

*
EllipticF

*EllipticE2

sondern

beide Eiformen online Nachrechnen per Iterationsrechner (a=aB[1]; b=aB[2]; c=aB[0])

interessant: trotz unterschiedlichem Faktor für die Spitze des Ei (c=aB[4]=0...7) ändert sich das Volumen nicht!

Spezialfall Trichterformen
Der Trichter wird so gekippt, dass die große Öffnung nach rechts zeigt. 6 mögliche Formen:

r (klein links) R (groß rechts) seien die Radien der kreisförmigen Öffnung; h=Höhe des Trichters(im Bild nach rechts bei x=3.5)

1 Paraboloid	$f(x)=\sqrt{r^{2}+x\cdot \frac{R^{2}-r^{2}}{h}}$	$V=\frac{\pi}{2}h(r^{2}+R^{2})$	$M=2\pi\sqrt{\frac{R^{2}x+hr^{2}-r^{2}x}{h}}\frac{(R^{2}-r^{2})x+hr^{2}}{12(R^{2}-r^{2})}\left[\frac{R^{4}-2R^{2}(r^{2}-2hx)+r^{2}(4h^{2}-4hx+r^2)}{h(x(R^{2}-r^2)+hr^2)}\right]^{\frac{3}{2}}$ $\left\|\begin{matrix}h\\0\end{matrix}\right.$
2 exponentiel	$f(x)=e^{\frac{x\cdot log(R-r+1)}{h}}+r+1$	$V=\pi h(r-1)^{2}-\frac{\pi h(r-R)(3r+R-2)}{2log(R-r+1)}$	M=
3 hyperbolischer Trichter (k=0.05)	$f(x)=\sqrt{\frac{1}{h+k-x}}\frac{R-r}{\sqrt{\frac{1}{k}}-\sqrt{\frac{1}{h+k}}}-\frac{\sqrt{k}R-r\sqrt{h+k}}{\sqrt{h+k}-\sqrt{k}}$		M in Arbeit...; $F=\frac{R-r}{\sqrt{\frac{1}{k}}-\sqrt{\frac{1}{h+k}}};\ B=\frac{\sqrt{k}R-r\sqrt{h+k}}{\sqrt{h+k}-\sqrt{k}}$
4 = (2+3)/2	(2+3)/2	in Arbeit...	in Arbeit...
5 Kegelstumpf (linear)	$f(x)=r+x\cdot \frac{R-r}{h}$	$V=\frac{\pi}{3}h(r^{2}+R\cdot r+R^{2})$	$M=\pi (r+R)\sqrt{h^{2}+(r-R)^{2}}$
6 halber Hyperboloid	$f(x)=\left(\frac{x\sqrt{R-r}}{h}\right)^{2}+r$	$V=\frac{\pi}{15}h(8r^{2}+4rR+3R^{2})$

Besonderheiten bei Rotation um y-Achse:
Natürlich kann man durch die Inverse Funktion (Umkehrfunktion) alles um 90° kippen,
ABER bei Funktionen wie Gamma(x) gibt es offiziell keine aGamma(x)
und die Integration davon geht nur noch NUMERISCH!

Dann gibt es noch die bei Wikipedia zu findene Substitution für Rotationskörper:

, a=x1>=0, b=x2>x1

Zeichnen (Plotten) der Rotationskörper (3D, Oberflächen, surface plot):
a) Microsoft Mathematics http://www.microsoft.com/de-de/download/details.aspx?id=15702

b) Mathematica: http://www.math.harvard.edu/archive/21a_summer_03/labs/labhtml/ per ParametricPlot3D

siehe auch Geometrischer Schwerpunkt

LINKS (Anwendungen):
- Volumenintegrale http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_IV/Physikalische_Chemie/Krienke/lehre_pdf/vt/vtneu12.pdf
- Oberflächenintegrale (krumme Flächen im 3D Raum)
- Oberflächenintegrale einer skalaren Funktion
- Oberflächenintegrale 1. und 2. Art
- Integrieren mit Doppelintegralen und praktischen Beispielen
- Elektrodynamik http://de.wikiversity.org/wiki/Fachbereich_Physik/Klassische_Elektrodynamik/Maxwell-Einf%C3%BChrung
- Maxwellsche_Gleichungen http://de.wikipedia.org/wiki/Maxwellsche_Gleichungen
- http://www.uni-stuttgart.de/bio/adamek/Tech.Bio/integrieren.pdf
- Vergleich von Poisson-Gleichung in Integralform: (Poisson's Equation in Integral Form) http://gravmag.ou.edu/laplace/laplace.html
und http://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Gleichung (rechts)
zeigt unterschiedliche Schreibweisen (Symboldarstellung) vom Volumenintegral: